気ままにIoTメモ

色々なこと備忘録

微分方程式の初歩をダイナミクスとして考え直す(3)

前回に引き続き,微分方程式を時間変化として考えていきます.

今回は次の微分方程式
\displaystyle \frac{dx}{dt} = ax + b
パラメータはaとbの二つ.

この微分方程式の解はCを任意定数とすると

\displaystyle x=Ce^{at} - \frac{b}{a} となります.

パラメータbにより項が一つ増えます.
定数変化法を使えば\displaystyle -\frac{b}{a}が出せるのですが,今回はグラフを使って説明していきます.

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例としてこのグラフにa=-2,b=1として書き加えると

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パラメータbにより,\displaystyle \dot{x} = 0の位置が\displaystyle x=0からズレたグラフになります.

今回は例として負の傾きを考えたので,初期値が任意の値でも\displaystyle \dot{x} = 0となる点へ収束していきます(安定).
したがって\displaystyle \lim_{t\rightarrow \infty}x(t) = -\frac{b}{a} = 0.5

定数変化法を使わずに簡単なグラフだけで\displaystyle \frac{a}{b}が出てきました.

改めて微分方程式の解を見ると

  • 第1項は減衰していく項
  • 第2項は収束後の値を示す項

となっていることが分かります.

例としてaが負の場合を考えましたが,aが正の場合は不安定に変わるだけです.