気ままにIoTメモ

Iotに関わること関わらないこと備忘録

微分方程式の初歩をダイナミクスとして考え直す(1)

物体の運動や水の流れなどの時間とともに変化していく振る舞いは微分方程式で記述できます.

例えば,真空中でリンゴを1mの高さから静かに落下させた場合,リンゴの振る舞いは次の式で示されます.


\displaystyle \frac{d^{2}y}{dt^{2}} = -g

ここで\displaystyle y[m]は地上からのリンゴの高さ,\displaystyle g[m/s^{2}]は重力加速度,\displaystyle t[s]は時間です. 振る舞いが微分方程式で記述できれば,任意の時間での高さは決定されます.
(初期速度0,初期位置1)


\displaystyle \frac{dy}{dt}=-gt

\displaystyle y=-\frac{1}{2}gt^{2}+1

この式は次のような線を描きます.
f:id:htn_hs:20170715215714p:plain f:id:htn_hs:20170715215723p:plain

時間経過につれて落下速度は大きくなっていき,0.32sあたりで落下することがわかります. 徐々に加速していく様子は直感的にも一致するのではないでしょうか.

少し一般的な形である


\displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = c

として微分方程式を考えるより,あえて一手間加えて時間変化として考えた方が直感的に分かりやすい事があるかと思います.
微分方程式を解く手段としてラプラス変換など便利なものはあるのですが,直感的に理解するために今回のような考え方は便利です.

次はもう少し複雑な微分方程式について書こうと思います.